Hoy en clase comenzamos a realizar ejercicios  de "Ecuaciones con radicales". Las ecuaciones radicales son aquellas que tienen raices cuadradas dentro de las ecuaciones.

Ej 1:                                                                        

(√X + 2) + 3 = 5

(√X +2) = 5-3

(√X+2)²= (2)²

X +2 = 4

X= 4-2

X=2

Verificacion:

(√2+2) + 3 = 5

(√4)+3 = 5

2 + 3 = 5

5 = 5

En algunos casos se va a tener que usar la formula de Pascal para poder resolver las ecuaciones. La formula de Pascal se puede representar asi: A²+ 2(A)(B) + B². Aqui hay un ejemplo:

Ej 2:

(√2x+3)- (√x+1)= 1

(√2x+3 -√x+1)²=1²

(√2x+3)²- 2(√2x+3)(√x + 1) + (√x+1)²= 1

2x + 3 - 2 (√2x² + 5x +3)+ x +1 = 1

3x + 4 -2(√2x² + 5x+3)= 1

(-2{√2x² + 5x+3})² =( -3-3x)²

4(2x² + 5x + 3) = (-3)² - 2(-3)(-3x)²

8x² + 20x + 12 = 9 + 18x + 9x²

-x² - 2x -  3 = 0

(x+1)(x-3) = 0

X1= -1

X2= 3

Ayer trabajamos con ecuaciones cuadraticas y en general los ejercicios son asi: ax^2+bx+c

Estos ejercicios se pueden resolver de 4 maneras:
*Factorizando
*Raiz cuadrada
*Completando el cuadrado (b/2)^2
*formula cuadratica x= -b± √b^2-4ac
                                                 2a
Este ejemplo es factorizando

1 x^2+5x=24
x^2+5x+24=0
(x-3) (x+8)=0

x-3=0    x+8=0
x1=3     x2=-8

Este ejemplo es usando la formula cuadratica

1 x^2-8x+13=0
x=8±√ -(8)^2 -4(1)(13)
                        2(1)
x=8±√64-52
            2
x=8±√12
        2
x=8+2√3
        2
x=2(4±√3)
        2
x=4±√3
x1= 4+√3
x2=4-√3

Ecuaciones Literales

Hoy en la clase hablamos de las ecuaciones literales, que son ecuaciones con más de una variable. Es un tema que tocamos brevemente el año pasado, pero hay que tener un conocimiento base para poder entender las lecciones que vienen. Aquí hay unos ejemplos.

 

1.     ax+b² =a² –bx

ax+bx=a²-b²

x(a+b)=(a+b)(a-b)

x=a-b

 

 

2.     a(x+b)+x(b-a)=2b(2a-x)

ax+ab+xb-ax=4ab-2bx

xb+2bx+4ba-ab

3bx+3ab

x(3b)=3ab

x=a

 

Aquí se divide el denominador común (xm) y multiplicamos lo que queda por el numerador:

 

 

3.     ^xm(m/x + n/m)=(n/x +1)^xm

m²+xn=nm+xm

xn-xm=nm-m²

x(n-m)=m(n-m)

x=m

Ecuaciones con una sola variable  y ecuaciones lineales

En la clase de hoy repasamos las ecuaciones lineales y las ecuaciones racionales

Ecuaciones lineales

(8x-2)(3x+4)=(4x+3)(6x-1)

24x²+32x-6x-8=24x²-4x+18-3

26x-8=14x-3

26x-14x=8-3

12x=5

X=5/12

Ecuaciones racionales= ecuaciones en donde aparecen  fracciones poli nómicas.

2/5+4/10x+5=7/2x+1

5(2x+1)   (2/5+4/5(2x+1)=7/2x+1 ) 5(2x+1)

2(2x+1)+4=35

4x+2+4=35

4x+6=35

4x=35-6

4x=29

X=29/4

Números Complejos

En la clase de hoy continuamos trabajando con los números complejos. Estos deben seguir la formula  a+b(i), donde a y b son números reales y (i) es un valor imaginario. Hoy trabajamos las diferentes formas para realizar ejercicios de división. Para trabajar con estos ejercicios utilizamos la siguiente formula:

                                                    

                                                  a+b(i)   /   c+d(i)

                                                 ac-ad(i)+cb(i)²   /  c²-d(i)²

                                                ac-ad(i)+cb(i)+bd  /  c²+d²

                                               (ac+bd) +(-ad+cb)(i)  /  c²+d²

Aquí hay un ejemplo siguiendo esa formula:

                                     

                                       -1+5(i)  /  3+2(i)

                                       -1+5(i)  /  3+2(i)   x   3-2(i)  /  3-2(i)

                                       -3+2(i)+15(i)-10(i)²  /  3²-2(i)²

                                      -3+17(i)+10  /  9+4

                                        7+17(i)  /  13

                                        7/13   + 17(i)/13

Blaise Pascal

 -Blaise Pascal fue un matematico, fisico, filosofo
cristiano y escritor frances nacido en 1623. Sus contribuciones a las matematicasy las ciencias naturales incluyen el diseño y construccion de calculadoras mecanicas, aporte a la Teoria de la
probabilidad,investigaciones sobre fluidos y la aclaracion de conceptos tales
como la presion y el vacio. En 1642, Pascal invento una de las
calculadoras mas antiguas, la cual llamo Pascalina.Otra de sus mas grandes aportaciones fue
el triangulo de Pascal, introducido en 1654 en uno de sus libros. Despues de una experiencia religiosa en 1654, Pascal abandono las matematicas y fisicas para dedicarse a la filosofia y la teologia. Pascal
murio en agosto de 1662 en Paris, Francia.



Triangulo de Pascal para n=10

En la clase de hoy  trabajamos con numeros complejos que son aquellos que tienen la forma a+b(i) donde a y b son llamado parte real del numero a+bi el numero real b es la parte imaginaria de a+b(i). Trabajamos con ejercicios de suma y resta utilizando esa formula, este es un ejemplo


1. (2+3i) + (5+7i)
=(2+5) + (3i + 7i)
= 7 + 10i

La otra parte que trabajamos era de multiplicacion y la forma que se use fue la siquiente:

(a+bi) (c+di)
= ac+adi+cbi+bdi2 (a la dos)
= ac+adi+cbi+bd(-1)
=ac+adi+cbi-bd
=(ac-bd) + (adi + cbi)
=(ac-bd) + (ad + cb) i

un ejemplo es:

1.(5-6i) (2+4i)
= 10+20i-12i-24i2(a la dos)
= 10+8i+24
= 34 + 8i

Este fue todo el material que tomamos hoy

Hoy en la clase repasamos los diferentes sistemas numéricos, en particular los números imaginarios (i). Hemos hecho trabajo con números imaginarios antes, pero ahora los estamos estudiando en más detalle. Por ejemplo, sabemos que el valor de “i” es igual a la raíz cuadrada de negativo uno:

         

                                                i=√-1

          También aprendimos que se puede usar exponentes con números imaginarios:

·         i⁰ =1

·         i¹ =i

·         i² =-1

·         i³ =-i

Usando esta tabla, se puede simplificar ciertas expresiones y ecuaciones con números imaginarios:

^·          i¹⁴ =(i²)⁷ =(-1)⁷ = -1

^·          i¹⁵⁹ = i¹⁵⁸ x i

(i²)⁷⁹ x i

= -i