Teorema del Residuo / Teorema del Factor

Teorema del Residuo

             El 10 y 11 de enero estudiamos el teorema del residuo. Este teorema quiere decir que si una función polinómica f(x) se divide por un binomio de la forma x-c, entonces el residuo es f(c).

             El teorema del residuo se utiliza para:
                           
                            1. Encontrar el residuo de una división evaluando la función.
                            2. Econtrar el valor de una función usando el residuo de una división.


                      Ejemplo: f(x) = 4x³ - 13x + 10
                                           a) f(-2) =

Teorema del Factor

              El binomio (x-c) es un factor de la función polinómica f(x) si y solo si f(c) = 0

              Si c es un cero del polinomio entonces x-c es un factor. Cada cero genera un factor y viceversa.


                     1. f(x) = x³ - 2x² -5x + 6

                Usando la división sintética, encontramos los valores de x y así podemos simplificar la función.


                                    f(x) = (x² +x -2) (x-3)

                                           =  (x-3)(x-1)(x+2)


                         Finalmente, encontramos los valores de x en la ecuación:

                                   

                                 

                                                            X₁ = 3        X₂ = 1       X₃ = -2

                                  
                              

Division sintetica

Es un procedimiento matemático usando paras dividir polinomios de la forma x-c es una constante. Es una abreviación de la división larga donde se usa solamente los coeficientes pa ser la división

Ejemplo : x⁴-2x+5x²-6x+1÷x-2

     1 -2 5 -6 1

2∟     2 0 10 8

        1 0 5 4  9

 

(x-2)(x³+5x +4)+9

Funciones Polinomiales2

Funciones Polinomiales:  -Normas para graficar funciones polinomiales:

1)Ceros: factorizar el polinomio para hallar todos sus ceros reales, estos son las intersecciones con el eje X de la grafica.

2) Puntos de prueba:construir una tabla de valores para el polinomio

3) Compartimiento extremo: determina el comportamiento extremo mediante una tabla de signos.

4) Grafica: Trae las intersecciones y otros puntos que encontró en la tabla . Bosqueje una curva lisa que pase por estos puntos.

 

 

 

Ejemplo:  f(x)=x³ -2x²-3x

1)      Ceros

f(x)= x³-2²-3x

= x(x²-2x-3)

= x(x+1)(x-3)

X1= o            x2=-1       x3=3

      (0,0)            (-1,0)        (3,0)

 

2)  Puntos de prueba :

Tabla de valores

 X     y

-2  -10

-1     0

0       0

 1      -4

 2      -6

3       0

3) Tabla:


Int.              X              Evaluar f(x)               Signo               C.E
              
(-∞,0)         -1                     8                             +                  arriba
(0,1)            -5                   .31                            +                  arriba
(1,3)             2                    -4                             -                  abajo
(3,∞)           4                     48                            +                 arriba




4) Grafica:




 

Funciones Polinomiales

Una funcion polinomial de grado n es funcion de la forma :
f(x) = a_nXⁿ + a_{n1 − 1}Xⁿ − 1 + a_{n − 2}Xⁿ − 2 + ... + a₁ + a₀ donde a₀,a₁,...,a_n son números reales 
y n es un entero no negativo. Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n.

Los numeros a0,a1,a2,...an se llaman coeficientes del polinomio.

El numero a0 es el coeficiente constante o termino constante.

El numero a_n, el coeficiente de la potencia mas alta n es el coeficiente principal y el termino a_n,X  es el termino principal.

Ejemplos

1- f(x) = -6x^3 - 2x +1

2- x3 - 3x² + 1