Funciones cuadraditcas

La forma estandar

F(x)=a(x+h)²-k

Ej f(x)=2(X-3)²-4

Vértice (3,4)

Concavidad a>0 abriendo hacia arriba

Eje de simetria (3)

Int en y     0,14                                                    y=2(x-3)²-4

Int en x                                                                        Y=2(0-3)²-4

                                                                                       Y=14

Funciones Cuadraticas

Una funcion cuadratica es una funcion que puede ser escrita en la forma: f(x)=a(x-h)² + k, (donde a no es igual a cero).






















La grafica de una funcion cuadratica tiene forma de U y se conoce como una parabola.

Forma estandar: f(x)=a(x-h)² + k
Vertice: (h,k)

Concavidad y vertice de una parabola
a > 0 / concavidad hacia arriba / hay un punto minimo
a < 0 / concavidad hacia abajo / hay un punto maximo

Si una  parabola abre hacia arriba, tiene un punto minimo
Si una parabola abre hacia abajo, tiene un punto maximo
Este punto mas alto o bajo es el vertice de la parabola.
La forma del vertice de una funcion cuadratica es f(x)= a(x-h)² + k , el vertice es (h,k)

Eje de simetria :
Es la recta que pasa por el vertice de una parabola que divide la parabola en 2 mitades congruentes.
La funcion cuadratica f(x)= a(x-h)² + k tiene el eje de simetria x=h



En estos ejercicios se va a buscar:

* Vertice
* Concavidad
* Eje de simetria
* Intercepto en y / (x=0)
* Intercepto en x ( maximo 2 ) / (solucion de la ecuacion)

Funciones inversas

La funcion inversa es una regla que actua en la salida de la funcion y produce la entrada correspondiente: asi la inversa "deshace" o invierte lo que ha hecho la funcion.

Funcion uno a uno:

Una funcion con dominio A se llama funcion uno a uno: no hay dos elementos de A que tengan el mismo rango es decir,

f(x1) = f(x2), siempre que x1 no es igual x2

En una grafica una funcion es uno a uno si y solo si ninguna recta cruza su grafica mas de una vez.

Composición de Funciones

Composición de Funciones

          La función compuesta (f o g), también conocida como la composición de f y g se representa de la siguiente manera:

                             (f o g)(x) = f( g(x) )

          El dominio de f o g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que g(x) está en el dominio de f.

 

          O sea, la segunda función reemplaza a todas las x de la primera función.

                  

                   Ejemplo: f(x)= x²

                                    g(x)= x-3

 

                             (f o g)(x) = f( g(x) )

                                             = (x-3)²

                                             = x² – 6x + 9

 

          Este orden puede ser modificado para buscar diferentes resultados:  (f o g), (g o f), (f o f), (g o g) etc.

 

          En los ejemplos siguientes, van a ver este cambio de orden, donde el valor de x es dado en cado ejercicio.

 

 

1.    f(x) = 2/x

g(x) = 4/x+4

 

A.    (f o g) (-2)

 

= 2/4/-2+4

=2/4/2

=2/2

= 1

 

 

B.    (g o f) (1/2)

 

= 4/ (2/ ½) +4

= 4/4+4

=4/8

=1/2

 

 

C.    (f o f) (-1/3)

=2/ (2/-1/3)

=2/-6

= -1/3

 

 

D.   (g o g)(3/2)

=4/[4/(3/2+4)+4]

=4/(8/11 +4)

=4/(52/11

=44/52

=11/13

 

          Por último, se puede hacer una función compuesta de tres funciones: ( f o g o h)

 

                             f(x)=2x+5   g(x)=2/x-3   h(x)=x²+4

 

1.    (f o g o h) (x)

 

=2[2/(x²+4)-3]+5

= (4/x²+1)+5

= [4/x²+1] + 5(x²+1)/x²+1

= 4+5x²+5/x²+1

= 9 +5x²/x²+1

  

Operaciones con funciones

Dos funciones f y g se pueden cambiar para formar  nuevas funciones :

F+g f-g  (fg) y f/g

De una manera similar a la forma en que se suma resta multiplica y7 divide números reales.

Sean f y g funciones con dominio A y B

A.      F(x)+g(x)= (f+g)(x)

B.      F(x)-g(x)=(f-g)(x)

C.      (F(x)G(x))=(fg)(x)

D.      F(x)/g(x)= F/g(x)

Ej f(x)=2x-3

    G(x)=x+4

a.(f+g)(x)=(2x-3)(x+4)=3x+1

b.(f-g)(x)=(2x-3)-(x+4)=x-7

c.(fg)(x)=(2x-3(x+4)=2x²+5x-12

d.(f/g)(x)=2x-3/x+4

Funciones crecirntes, decrecientes y consonantes



y=f(x)
f es creciente en [ 5,∞)
f es deciendiente en [3,4]
f es constante en  [4,5]


* f es decreciente en un intervalo (I) si f(x1) >f(x2), siempre que x1>x2 en I
* f es creciente en un intervalo (I) si f(x) < f(x2), siempre que x1

Grafica de funciones definida por partes

Una funcion por partes se define mediante formulas distintas en diferentes partes de su dominio, la grafica de la funcion en trazos separados.
Ej. f(x) = {x², x < o igual 1
               {2x + 1 , x > 1

 f(x) = x²                           f(x) = 2x + 1
x     y                                x     y
 1     1                              1     3
 0     0                              2     5
-1     1                              3    7
-2     4                              4     9            
-3     9                              5     11