leyes logaritmicas

Existen 3 propiedades logaritmicas que se utilizan para evaluar expresiones las cuales son:

 

Aqui hay unos ejemplos de cada propiedad

1-   log42 + log432

     log4 (2 * 32)

     log4 (64)

2- log280 – log25

    log2 (80/5)

    log216

     = 4

3-  -1/3log8

       log8^-1/3

       log (2^3)^-1/3

       log2^-1

       log (1/2)

        =-0.301

Familia de Funciones Logarítmicas (22-25 de febrero 2013)

Familia de Funciones Logarítmicas

            Hay diferentes formas de expresar logaritmos. Dos de esos están aquí.

1.      Y1 = log_1/2X = logX / log(1/2)

2.      Log_1/2X = Y = (1/2)^y = X

                       2^-1(y) = X

                       2^-y = X

A.      Logaritmos Comunes

Los logaritmos comunes son todos los que tienen base 10. Se escriben así:

                        logX = log₁₀X

Se entiende que si un logaritmo solamente dice “log” sin alguna base, será de base 10.

                        Ej:  log6 = log6 / log10

B.      Evalúe las expresiones logarítmicas

Para determinar con exactitud el valor de un logaritmo escribimos el logaritmo en notación exponencial.

                        Ej:   a^u = a^v

                                  2^x = 2³

O sea, si las bases son iguales, los exponentes deben de serlo también.

Para resolver estas ecuaciones, se considera que la “Y” en el otro lado de la ecuación es el exponente de la base del logaritmo.

1.      log₃1/3 = y

3^y = 1/3

3^y = 3^-1

Y = -1

2.      log_√24 = y

(√2)^y = 2²

2^1/2y = 2²

2(1/2y) = (2)2

Y = 4

C.      Logaritmo Natural

Otro tipo de logaritmo es el logaritmo natural. Son los logaritmos que tienen como base el número “e”

                        lnX = log_eX

La función logaritmo natural y = lnX es la función inversa de la función exponencial, y = e^x

                                   lnX = y <=> e^y = x

D.     Propiedades de logaritmos naturales

        Propiedad                      Razón

1.      Lnl = 0                              -Se tiene que elevar “e” a la potencia 0 para obtener 1.         

2.      Lne = 1                             -Se tiene que elevar “e”a la potencia 1 para obtener e.

3.      Lne^x = X                            - Se tiene que elevar “e” a la potencia “X” para obtener e^x

4.      e^lnX = X                              - lnX es la potencia a la cual “e” debe ser elevada para X.  

Ejemplos:  1. lne³ = 3

                       Log_ee³ = y

                       e^y = e³ 

                      y = 3

Funciones logaritmicas
sea a un numero positivo con a no =x. la funcion logaritmica con base a se denota por log a se define

Log_a x=4 –a⁴=x

Asi log_ax es el exponente al que se dee elevar la a para da x

Log₂8=3-2³=8

Log₃x=y-3^y=x

Prepidades de los logaritmos

Log_a1=0

Se debe a lla potencia 0 para obtener 1

Log_aa=1

Se debe  elevar a a la potencia 1 para obtener a

Lo_aa^x=x

Se debe a a a la potencia xpara obtener a^x

A^{loga ^x}

Logx es la potencia a la cual se debe elevar a para ontener x

Modelo de crecimiento

Ceros y sus Multiplicados(22 de enero)

Importante: Lo siguiente es un tema que por accidente lo brincamos. Es del 22 de enero de 2013.

Ceros y sus Multiplicados:

 

Ceros y sus Multiplicados:

                En el teorema de factorización completa los números C1….C2….C_n son los ceros de P. Estos ceros no necesariamente son todos diferentes. Si el factor “x-c” aparece” k” veces en la factorización completa de P(x), entonces se dice que “c” es un cero de multiplicidad K.

 

                               Ej.   P(x)=(x-1)³(x+2)²(x+3)⁵

                                               Tiene los ceros siguientes:

                                                               1(Multiplicidad 3), -2(Multiplicidad 2), -3(Multiplicidad 5)

 

                El valor de cero se encuentra por el signo opuesto del número dado de los        polinomios. La multiplicidad describe cuantas veces se repite el mismo cero.

                                               La palabra “cero” se refiere a un valor de “x” de la ecuación.

 

Teorema de Ceros:

                Todo polinomio de grado n≥1 tiene exactamente “n” ceros, siempre que un cero de Multiplicidad K se cuente K veces.

 

                                               Ejemplo:

1.       P tiene grado 3 y ceros 2, 3(Multiplicidad 2)

 

P(x)=(x-2)(x-3)²

P(x)=(x-2)(x²-6x+9)

P(x)=x³-6x²+9x-2x²+12x-18

 

P(x)=x³-8x²+21x-18

X₁=2

X₂=3

X₃=3

El interes compuesto se calcula mediante la formula:

Donde A(t) = a cantidad despues de años.

P = principal

r = tasa de interes por año

n =  numero de veces que el interes se compone por año

t = numero de años

Función Exponencial Natural

Función Exponencial Natural

           

            La función exponecncial natural es la función exponencial:

                                             F(x)=e³

            con base “e”. Es común referirse a ella como la función exponencial.

        

           El número "e" se define como el valor al que se aproxima [(1+ 1/n)^n] cuando se vuelve grande.

                                              n                           (1+1/n)^n

                                     

                                           1                                     2 

                                           5                                     2. 48832

                                          10                                    2.59374

                                          100                                  2.7048138

                                          1000                                2.716923

                                          10000                              2.718145

                                          100000                            2.7182

                                          1000000                          2.7182804

                                                                          Por lo tanto, e^n = 2.7182818.............................

      Este concepto es utilizado mucho por los científicos y economistas para estimar la cantidad de algo a traves del tiempo.

                           Ej: Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de "t" días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

                                           V(t) = 10,000/5+1245e^-0.97t

                           

                                 Para saber la cantidad de personas ya infectadas

                                            V(0) = 10,000/5+1245e^-0.97(0)

                                            V(0) = 8

                                Para la cantidad de infectados en 5 días

                                           V(5) = 10,000/5+1245e^-0.97(5)

                                           V(5) = 678