Modelo de crecimiento

Ceros y sus Multiplicados(22 de enero)

Importante: Lo siguiente es un tema que por accidente lo brincamos. Es del 22 de enero de 2013.

Ceros y sus Multiplicados:

 

Ceros y sus Multiplicados:

                En el teorema de factorización completa los números C1….C2….C_n son los ceros de P. Estos ceros no necesariamente son todos diferentes. Si el factor “x-c” aparece” k” veces en la factorización completa de P(x), entonces se dice que “c” es un cero de multiplicidad K.

 

                               Ej.   P(x)=(x-1)³(x+2)²(x+3)⁵

                                               Tiene los ceros siguientes:

                                                               1(Multiplicidad 3), -2(Multiplicidad 2), -3(Multiplicidad 5)

 

                El valor de cero se encuentra por el signo opuesto del número dado de los        polinomios. La multiplicidad describe cuantas veces se repite el mismo cero.

                                               La palabra “cero” se refiere a un valor de “x” de la ecuación.

 

Teorema de Ceros:

                Todo polinomio de grado n≥1 tiene exactamente “n” ceros, siempre que un cero de Multiplicidad K se cuente K veces.

 

                                               Ejemplo:

1.       P tiene grado 3 y ceros 2, 3(Multiplicidad 2)

 

P(x)=(x-2)(x-3)²

P(x)=(x-2)(x²-6x+9)

P(x)=x³-6x²+9x-2x²+12x-18

 

P(x)=x³-8x²+21x-18

X₁=2

X₂=3

X₃=3

El interes compuesto se calcula mediante la formula:

Donde A(t) = a cantidad despues de años.

P = principal

r = tasa de interes por año

n =  numero de veces que el interes se compone por año

t = numero de años

Función Exponencial Natural

Función Exponencial Natural

           

            La función exponecncial natural es la función exponencial:

                                             F(x)=e³

            con base “e”. Es común referirse a ella como la función exponencial.

        

           El número "e" se define como el valor al que se aproxima [(1+ 1/n)^n] cuando se vuelve grande.

                                              n                           (1+1/n)^n

                                     

                                           1                                     2 

                                           5                                     2. 48832

                                          10                                    2.59374

                                          100                                  2.7048138

                                          1000                                2.716923

                                          10000                              2.718145

                                          100000                            2.7182

                                          1000000                          2.7182804

                                                                          Por lo tanto, e^n = 2.7182818.............................

      Este concepto es utilizado mucho por los científicos y economistas para estimar la cantidad de algo a traves del tiempo.

                           Ej: Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de "t" días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

                                           V(t) = 10,000/5+1245e^-0.97t

                           

                                 Para saber la cantidad de personas ya infectadas

                                            V(0) = 10,000/5+1245e^-0.97(0)

                                            V(0) = 8

                                Para la cantidad de infectados en 5 días

                                           V(5) = 10,000/5+1245e^-0.97(5)

                                           V(5) = 678

                                             

                                            

funciones exponenciales y loraritmicas

funciones exponenciales ;
se estudiauna nuevaformadefunciones llamadasfunciones exponenciales
las funciones exponenciales son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos

Ejemplo

F(x)=2^x

Es una funcion exponencial con base 2 veamos con la rapidez que crece

F(3)=2³=8

F(10)=2¹⁰=1024

F(30)=1’073’741’824

Caracteristicas de un dominio 

F(x)=a^x cuando a.1

Dominio (-∞,∞)

Rango (0,∞)

Es asintota por el eje de x por la izquierda

Int. En y (0,1)

Pasa por elpunto

(0,1)(-1,1/a)

Ceros complejos de funciones polinomicas

Una función polinomica compleja f(x)  de grado n es una función de la forma

donde los coeficientes y la variable son números complejos.

 

Definicion:

-Un numero complejo r es un cero(complejo)de una función compleja f si f(r)=0

 

A.Teorema Fundamental del algebra

-Toda función polinomica f(x) de grado  n≥1 tiene al menos un cero en el conjunto de números complejos.

 

B.Teorema de factorización

- Toda función polinomica compleja f(x) de grado n≥1 se puede factorizar en n factores lineales(no necesariamente distintos) de la forma

f(x)= an(x-r1)(x-r2)…(x-nr)

donde an, r1, r2, … , rn son números complejos y r1, r2,… ,rn son los ceros de f(x)

X² + 1 = 0

√x² = √-1

X = +- i

 

f(x)= (x-3)(x² + 1)

x1= 3  x2= i  x3= -i

 

Teorema del numero de ceros

Una funcion polinomica no puede tener un numero mayor de ceros que su grado.

Sea f(x) una funcion polinomica el numero real de ceros reales positivos de f(x) es igual al numero de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(x) o igual al numero de variaciones menos un numero natural par.

El numero de ceros reales negativos de f(x) es igual al numero de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(-x) o igual al numero de variaciones menos un numero natural par.