Funciones trigonométricas de ángulos

 

 

 

 

 

Aplicaciones de trigonometria de triangulos rectangulos

 

o  = 25.7°

b= 532 pies

h = ?

 

Tan 25.7°= (h/ 532)

532 Tan 25.7° = h

h= 256 pies

 

trigonometria de angulos rectos

relaciones trigonomicas

1.       seno ɵ = cateto opueto/hipotenusa

2.       coseno ɵ =cateto adyacente/hipotenusa

3.       tangente ɵ =cateto opueto/ cateto adyacente

4.       cosacante(csc) ɵ =1/seno ɵ

5.       secante(sec) ɵ =1/cos ɵ

6.       cotangente(cot) ɵ =1/tan ɵ

halla las  relaciones:

a.2/3                                 ɵ=sen ^-1 (2/3)≈42⁰

b.√5/3                              ɵ=cos ^-1 (√5/3 )≈42⁰                             

c.2√5/5                            ɵ=tan^-1(2√5/5 )≈42⁰

       

                  

Angulos en Forma Estandar y Angulos Coteminales

Un angulo esta en posicion estandar si se dibuja en el plano xy con su vertice en el origen y su lado inicial en el xeje x positivo

Ejemplos:



Los angulos que estan en posicion estandar y que coinciden sus lados finales se les conoce como angulos coterminales.

Funciones Trigonométricas de Ángulos

Funciones Trigonométrica de Ángulos

                Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos maneras distintas pero equivalentes; como funciones de números reales o como funciones de ángulos.

               

                Un ángulo de medida 1 se forma al rotar el lado inicial 1/360 de una revolución completa. En cálculo, y otras ramas de las matemáticas, se usa un modo más natural de medir ángulos, la medida en radianes. La cantidad que se abre un ángulo se mide a largo del arco de un círculo de radio 1 con su centro en el vértice del ángulo. 

 

 

 

 

             Si un círculo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en un centro, entonces la medida de este ángulo en radianes (rad) es la longitud del arco que subtiende el ángulo.

 

 

 

 

          

           La circunferencia de radio 1 es 2π y, por lo tanto, una revolución complete tiene 2π rad, un ángulo llano tiene medida de π rad y un ángulo recto tiene medida de π/2 rad.

 

 

 

 

 

Puesto que una revolución completa medida en grados es 360, y medida en radianes 2π, se obtiene la siguiente relación entre dos métodos de medición de ángulo.

 

 

                                180 grados = π

                                360 grados = 2π

 

 

                Existen dos formulas para cambiar de radianes a grados y de grados a radianes.

 

1.       Grados = rad(180/π)

2.       Radianes = Grados(π/180)

 

Ejemplos:

a.       Se sabe que hay un radian en tal ángulo. ¿Cuál es la medida de los grados?

 

Grados = 1(180/π)

Grados = 57.296

funciones exponenciales y logaritmicas

funciones exponenciales y logaritmicas

(1/6)^{3x 2}.216^2x=1/216

6^-(3x+2).6^3(3x)=6^-3

-3x-2+9x=-3

6x/6=-1/6

X=-1/6

81^3x12/243^-n=3⁴

3^4(3x+2).3⁵⁷=3⁴

12ⁿ⁺⁸⁺⁵ⁿ=4

17n/17=-4/17

N=-4/17

243^k+l/9^1-2k=9

3^5(k+2).3^-2(1-2k)=3²

5k+10k-2+4k=2

9k+8=2

9k/9=-6/9

K=-2/3

Desarollar y combinar la expresion logaritmica

leyes logaritmicas

Existen 3 propiedades logaritmicas que se utilizan para evaluar expresiones las cuales son:

 

Aqui hay unos ejemplos de cada propiedad

1-   log42 + log432

     log4 (2 * 32)

     log4 (64)

2- log280 – log25

    log2 (80/5)

    log216

     = 4

3-  -1/3log8

       log8^-1/3

       log (2^3)^-1/3

       log2^-1

       log (1/2)

        =-0.301

Familia de Funciones Logarítmicas (22-25 de febrero 2013)

Familia de Funciones Logarítmicas

            Hay diferentes formas de expresar logaritmos. Dos de esos están aquí.

1.      Y1 = log_1/2X = logX / log(1/2)

2.      Log_1/2X = Y = (1/2)^y = X

                       2^-1(y) = X

                       2^-y = X

A.      Logaritmos Comunes

Los logaritmos comunes son todos los que tienen base 10. Se escriben así:

                        logX = log₁₀X

Se entiende que si un logaritmo solamente dice “log” sin alguna base, será de base 10.

                        Ej:  log6 = log6 / log10

B.      Evalúe las expresiones logarítmicas

Para determinar con exactitud el valor de un logaritmo escribimos el logaritmo en notación exponencial.

                        Ej:   a^u = a^v

                                  2^x = 2³

O sea, si las bases son iguales, los exponentes deben de serlo también.

Para resolver estas ecuaciones, se considera que la “Y” en el otro lado de la ecuación es el exponente de la base del logaritmo.

1.      log₃1/3 = y

3^y = 1/3

3^y = 3^-1

Y = -1

2.      log_√24 = y

(√2)^y = 2²

2^1/2y = 2²

2(1/2y) = (2)2

Y = 4

C.      Logaritmo Natural

Otro tipo de logaritmo es el logaritmo natural. Son los logaritmos que tienen como base el número “e”

                        lnX = log_eX

La función logaritmo natural y = lnX es la función inversa de la función exponencial, y = e^x

                                   lnX = y <=> e^y = x

D.     Propiedades de logaritmos naturales

        Propiedad                      Razón

1.      Lnl = 0                              -Se tiene que elevar “e” a la potencia 0 para obtener 1.         

2.      Lne = 1                             -Se tiene que elevar “e”a la potencia 1 para obtener e.

3.      Lne^x = X                            - Se tiene que elevar “e” a la potencia “X” para obtener e^x

4.      e^lnX = X                              - lnX es la potencia a la cual “e” debe ser elevada para X.  

Ejemplos:  1. lne³ = 3

                       Log_ee³ = y

                       e^y = e³ 

                      y = 3

Funciones logaritmicas
sea a un numero positivo con a no =x. la funcion logaritmica con base a se denota por log a se define

Log_a x=4 –a⁴=x

Asi log_ax es el exponente al que se dee elevar la a para da x

Log₂8=3-2³=8

Log₃x=y-3^y=x

Prepidades de los logaritmos

Log_a1=0

Se debe a lla potencia 0 para obtener 1

Log_aa=1

Se debe  elevar a a la potencia 1 para obtener a

Lo_aa^x=x

Se debe a a a la potencia xpara obtener a^x

A^{loga ^x}

Logx es la potencia a la cual se debe elevar a para ontener x

Modelo de crecimiento

Ceros y sus Multiplicados(22 de enero)

Importante: Lo siguiente es un tema que por accidente lo brincamos. Es del 22 de enero de 2013.

Ceros y sus Multiplicados:

 

Ceros y sus Multiplicados:

                En el teorema de factorización completa los números C1….C2….C_n son los ceros de P. Estos ceros no necesariamente son todos diferentes. Si el factor “x-c” aparece” k” veces en la factorización completa de P(x), entonces se dice que “c” es un cero de multiplicidad K.

 

                               Ej.   P(x)=(x-1)³(x+2)²(x+3)⁵

                                               Tiene los ceros siguientes:

                                                               1(Multiplicidad 3), -2(Multiplicidad 2), -3(Multiplicidad 5)

 

                El valor de cero se encuentra por el signo opuesto del número dado de los        polinomios. La multiplicidad describe cuantas veces se repite el mismo cero.

                                               La palabra “cero” se refiere a un valor de “x” de la ecuación.

 

Teorema de Ceros:

                Todo polinomio de grado n≥1 tiene exactamente “n” ceros, siempre que un cero de Multiplicidad K se cuente K veces.

 

                                               Ejemplo:

1.       P tiene grado 3 y ceros 2, 3(Multiplicidad 2)

 

P(x)=(x-2)(x-3)²

P(x)=(x-2)(x²-6x+9)

P(x)=x³-6x²+9x-2x²+12x-18

 

P(x)=x³-8x²+21x-18

X₁=2

X₂=3

X₃=3

El interes compuesto se calcula mediante la formula:

Donde A(t) = a cantidad despues de años.

P = principal

r = tasa de interes por año

n =  numero de veces que el interes se compone por año

t = numero de años

Función Exponencial Natural

Función Exponencial Natural

           

            La función exponecncial natural es la función exponencial:

                                             F(x)=e³

            con base “e”. Es común referirse a ella como la función exponencial.

        

           El número "e" se define como el valor al que se aproxima [(1+ 1/n)^n] cuando se vuelve grande.

                                              n                           (1+1/n)^n

                                     

                                           1                                     2 

                                           5                                     2. 48832

                                          10                                    2.59374

                                          100                                  2.7048138

                                          1000                                2.716923

                                          10000                              2.718145

                                          100000                            2.7182

                                          1000000                          2.7182804

                                                                          Por lo tanto, e^n = 2.7182818.............................

      Este concepto es utilizado mucho por los científicos y economistas para estimar la cantidad de algo a traves del tiempo.

                           Ej: Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de "t" días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función:

                                           V(t) = 10,000/5+1245e^-0.97t

                           

                                 Para saber la cantidad de personas ya infectadas

                                            V(0) = 10,000/5+1245e^-0.97(0)

                                            V(0) = 8

                                Para la cantidad de infectados en 5 días

                                           V(5) = 10,000/5+1245e^-0.97(5)

                                           V(5) = 678

                                             

                                            

funciones exponenciales y loraritmicas

funciones exponenciales ;
se estudiauna nuevaformadefunciones llamadasfunciones exponenciales
las funciones exponenciales son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos

Ejemplo

F(x)=2^x

Es una funcion exponencial con base 2 veamos con la rapidez que crece

F(3)=2³=8

F(10)=2¹⁰=1024

F(30)=1’073’741’824

Caracteristicas de un dominio 

F(x)=a^x cuando a.1

Dominio (-∞,∞)

Rango (0,∞)

Es asintota por el eje de x por la izquierda

Int. En y (0,1)

Pasa por elpunto

(0,1)(-1,1/a)

Ceros complejos de funciones polinomicas

Una función polinomica compleja f(x)  de grado n es una función de la forma

donde los coeficientes y la variable son números complejos.

 

Definicion:

-Un numero complejo r es un cero(complejo)de una función compleja f si f(r)=0

 

A.Teorema Fundamental del algebra

-Toda función polinomica f(x) de grado  n≥1 tiene al menos un cero en el conjunto de números complejos.

 

B.Teorema de factorización

- Toda función polinomica compleja f(x) de grado n≥1 se puede factorizar en n factores lineales(no necesariamente distintos) de la forma

f(x)= an(x-r1)(x-r2)…(x-nr)

donde an, r1, r2, … , rn son números complejos y r1, r2,… ,rn son los ceros de f(x)

X² + 1 = 0

√x² = √-1

X = +- i

 

f(x)= (x-3)(x² + 1)

x1= 3  x2= i  x3= -i

 

Teorema del numero de ceros

Una funcion polinomica no puede tener un numero mayor de ceros que su grado.

Sea f(x) una funcion polinomica el numero real de ceros reales positivos de f(x) es igual al numero de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(x) o igual al numero de variaciones menos un numero natural par.

El numero de ceros reales negativos de f(x) es igual al numero de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(-x) o igual al numero de variaciones menos un numero natural par.

Teorema del Residuo / Teorema del Factor

Teorema del Residuo

             El 10 y 11 de enero estudiamos el teorema del residuo. Este teorema quiere decir que si una función polinómica f(x) se divide por un binomio de la forma x-c, entonces el residuo es f(c).

             El teorema del residuo se utiliza para:
                           
                            1. Encontrar el residuo de una división evaluando la función.
                            2. Econtrar el valor de una función usando el residuo de una división.


                      Ejemplo: f(x) = 4x³ - 13x + 10
                                           a) f(-2) =

Teorema del Factor

              El binomio (x-c) es un factor de la función polinómica f(x) si y solo si f(c) = 0

              Si c es un cero del polinomio entonces x-c es un factor. Cada cero genera un factor y viceversa.


                     1. f(x) = x³ - 2x² -5x + 6

                Usando la división sintética, encontramos los valores de x y así podemos simplificar la función.


                                    f(x) = (x² +x -2) (x-3)

                                           =  (x-3)(x-1)(x+2)


                         Finalmente, encontramos los valores de x en la ecuación:

                                   

                                 

                                                            X₁ = 3        X₂ = 1       X₃ = -2

                                  
                              

Division sintetica

Es un procedimiento matemático usando paras dividir polinomios de la forma x-c es una constante. Es una abreviación de la división larga donde se usa solamente los coeficientes pa ser la división

Ejemplo : x⁴-2x+5x²-6x+1÷x-2

     1 -2 5 -6 1

2∟     2 0 10 8

        1 0 5 4  9

 

(x-2)(x³+5x +4)+9