funciones exponenciales y loraritmicas

funciones exponenciales ;
se estudiauna nuevaformadefunciones llamadasfunciones exponenciales
las funciones exponenciales son apropiadas para modelar el crecimiento poblacional para los seres vivos

Ejemplo

F(x)=2^x

Es una funcion exponencial con base 2 veamos con la rapidez que crece

F(3)=2³=8

F(10)=2¹⁰=1024

F(30)=1’073’741’824

Caracteristicas de un dominio 

F(x)=a^x cuando a.1

Dominio (-∞,∞)

Rango (0,∞)

Es asintota por el eje de x por la izquierda

Int. En y (0,1)

Pasa por elpunto

(0,1)(-1,1/a)

Ceros complejos de funciones polinomicas

Una función polinomica compleja f(x)  de grado n es una función de la forma

donde los coeficientes y la variable son números complejos.

 

Definicion:

-Un numero complejo r es un cero(complejo)de una función compleja f si f(r)=0

 

A.Teorema Fundamental del algebra

-Toda función polinomica f(x) de grado  n≥1 tiene al menos un cero en el conjunto de números complejos.

 

B.Teorema de factorización

- Toda función polinomica compleja f(x) de grado n≥1 se puede factorizar en n factores lineales(no necesariamente distintos) de la forma

f(x)= an(x-r1)(x-r2)…(x-nr)

donde an, r1, r2, … , rn son números complejos y r1, r2,… ,rn son los ceros de f(x)

X² + 1 = 0

√x² = √-1

X = +- i

 

f(x)= (x-3)(x² + 1)

x1= 3  x2= i  x3= -i

 

Teorema del numero de ceros

Una funcion polinomica no puede tener un numero mayor de ceros que su grado.

Sea f(x) una funcion polinomica el numero real de ceros reales positivos de f(x) es igual al numero de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(x) o igual al numero de variaciones menos un numero natural par.

El numero de ceros reales negativos de f(x) es igual al numero de variaciones en los signos de los coeficientes distintos de cero de f(-x) o igual al numero de variaciones menos un numero natural par.

Teorema del Residuo / Teorema del Factor

Teorema del Residuo

             El 10 y 11 de enero estudiamos el teorema del residuo. Este teorema quiere decir que si una función polinómica f(x) se divide por un binomio de la forma x-c, entonces el residuo es f(c).

             El teorema del residuo se utiliza para:
                           
                            1. Encontrar el residuo de una división evaluando la función.
                            2. Econtrar el valor de una función usando el residuo de una división.


                      Ejemplo: f(x) = 4x³ - 13x + 10
                                           a) f(-2) =

Teorema del Factor

              El binomio (x-c) es un factor de la función polinómica f(x) si y solo si f(c) = 0

              Si c es un cero del polinomio entonces x-c es un factor. Cada cero genera un factor y viceversa.


                     1. f(x) = x³ - 2x² -5x + 6

                Usando la división sintética, encontramos los valores de x y así podemos simplificar la función.


                                    f(x) = (x² +x -2) (x-3)

                                           =  (x-3)(x-1)(x+2)


                         Finalmente, encontramos los valores de x en la ecuación:

                                   

                                 

                                                            X₁ = 3        X₂ = 1       X₃ = -2

                                  
                              

Division sintetica

Es un procedimiento matemático usando paras dividir polinomios de la forma x-c es una constante. Es una abreviación de la división larga donde se usa solamente los coeficientes pa ser la división

Ejemplo : x⁴-2x+5x²-6x+1÷x-2

     1 -2 5 -6 1

2∟     2 0 10 8

        1 0 5 4  9

 

(x-2)(x³+5x +4)+9

Funciones Polinomiales2

Funciones Polinomiales:  -Normas para graficar funciones polinomiales:

1)Ceros: factorizar el polinomio para hallar todos sus ceros reales, estos son las intersecciones con el eje X de la grafica.

2) Puntos de prueba:construir una tabla de valores para el polinomio

3) Compartimiento extremo: determina el comportamiento extremo mediante una tabla de signos.

4) Grafica: Trae las intersecciones y otros puntos que encontró en la tabla . Bosqueje una curva lisa que pase por estos puntos.

 

 

 

Ejemplo:  f(x)=x³ -2x²-3x

1)      Ceros

f(x)= x³-2²-3x

= x(x²-2x-3)

= x(x+1)(x-3)

X1= o            x2=-1       x3=3

      (0,0)            (-1,0)        (3,0)

 

2)  Puntos de prueba :

Tabla de valores

 X     y

-2  -10

-1     0

0       0

 1      -4

 2      -6

3       0

3) Tabla:


Int.              X              Evaluar f(x)               Signo               C.E
              
(-∞,0)         -1                     8                             +                  arriba
(0,1)            -5                   .31                            +                  arriba
(1,3)             2                    -4                             -                  abajo
(3,∞)           4                     48                            +                 arriba




4) Grafica:




 

Funciones Polinomiales

Una funcion polinomial de grado n es funcion de la forma :
f(x) = a_nXⁿ + a_{n1 − 1}Xⁿ − 1 + a_{n − 2}Xⁿ − 2 + ... + a₁ + a₀ donde a₀,a₁,...,a_n son números reales 
y n es un entero no negativo. Entonces, f se llama una Función Polinomial de grado n.

Los numeros a0,a1,a2,...an se llaman coeficientes del polinomio.

El numero a0 es el coeficiente constante o termino constante.

El numero a_n, el coeficiente de la potencia mas alta n es el coeficiente principal y el termino a_n,X  es el termino principal.

Ejemplos

1- f(x) = -6x^3 - 2x +1

2- x3 - 3x² + 1